本記事は前回の記事の続きです.離散時間の場合と比較しながら読むとイメージしやすいと思います.

フィルトレーションの定義を調べるその1(離散時間) - エンジニアを目指す浪人のブログ

 

さっそく連続時間の場合の定義を調べていきます.Kuo(2006)には以下のように書いてあります.

Definition 2.5.1. A filtration on {displaystyle T } is an increasing family {displaystyle { mathcal{F}_t | t in T } } of {displaystyle sigma }-fields. A stochastic process {displaystyle X_t,t in T, } is said to be adapted to {displaystyle { mathcal{F}_t | t in T } } if for each {displaystyle t }, the random variable {displaystyle X_t } is {displaystyle mathcal{F}_t }-measurable.

In case the filtration is not explicitly specified, then the filtration {displaystyle { mathcal{F}_t } } is understood to be the one given by {displaystyle mathcal{F}_t = sigma { X_s ; s le t } }

 

もう少し気の利いた説明がほしいので,Revuz and Yor(2004)を見てみます.

(4.1) Definition. A filtration on the measurable space {displaystyle (Omega,mathscr{F}) } is an increasing family {displaystyle (mathscr{F}_t)_{t ge 0} } of sub-{displaystyle sigma }-algebras of {displaystyle mathscr{F} }. In other words, for each {displaystyle t } we have a sub-{displaystyle sigma }-algebra {displaystyle mathscr{F}_t } and {displaystyle mathscr{F}_s subset mathscr{F}_t } if {displaystyle s lt t }. A measurable space {displaystyle (Omega,mathscr{F}) } endowed with a filtration {displaystyle (mathscr{F}_t)_{t ge 0} }, is said to be a filtered space.

(4.2) Definition. A process X on {displaystyle (Omega,mathscr{F}) } is adapted to the filtration {displaystyle (mathscr{F}_t)} if {displaystyle X_t } is {displaystyle mathscr{F}_t}-measurable for each {displaystyle t }.

 Any process {displaystyle X } is adapted to its natural filtration {displaystyle mathcal{F}_t^0 = sigma(X_s, s le t) } and {displaystyle (mathcal{F}_t) } is to say {displaystyle mathcal{F}_t^0 subset mathcal{F}_t } for each {displaystyle t }.
 It is the introduction of a filtration which allows for the parameter {displaystyle t } to be really thought of as “time”. Heuristically speaking, the {displaystyle sigma }-algebra {displaystyle mathcal{F}_t } is the collection of events which may occur before or at time {displaystyle t } or, in other words, the set of possible pasts up to time {displaystyle t }. In the case of stationary prcesses, where the law invariant, it is the measurability with respect to {displaystyle mathcal{F}_t } which places the event in time.  

 

上記のうち,フィルトレーションの解釈についての記述を和訳すると以下となりそうです.
・フィルトレーションの導入によりパラメータ {displaystyle t } を時間の概念として考えることができる
・フィルトレーション({displaystyle sigma }-加法族){displaystyle (mathcal{F}_t) } は,時点 {displaystyle t } あるいはそれ以前に起こるかもしれない事象の族,いいかえると,時点 {displaystyle t } までの過去と解釈できる
・法則不変の確率過程においては,{displaystyle (mathcal{F}_t) } に関する可測性は事象を(時点 {displaystyle t } あるいはそれ以前の)時間に配置することと解釈できる

また,Kuo(2006)の記述にあるフィルトレーションの構成はRevuz and Yor(2004)の記述にある自然なフィルトレーション(natural filtration)と同じものです.


以上,2つの記事でフィルトレーションが教科書でどのように導入されているか調べてみました.まずは離散時間で考えればイメージしやすく,連続時間はそのアナロジーであるとして納得すればよさそうです.


参考文献
[1] Kuo, H.H. (2006), Introduction to Stochastic Integration, Springer.
[2] Revuz, D., and Yor, M. (2004), Continuous Martingales and Brownian Motion (3rd Edition), Springer.
[3] Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press.